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        廣義Brandt半群的Cayley圖

        李映輝 王守峰

        引用本文:
        Citation:

        廣義Brandt半群的Cayley圖

          通訊作者: 王守峰, yingh817@163.com
        • 中圖分類號: O152.7

        On Cayley graphs of generalized Brandt semigroups

          Corresponding author: WANG Shou-feng, yingh817@163.com
        • CLC number: O152.7

        • 摘要: 研究廣義Brandt半群上的以Green等價類為連接集的Cayley圖,通過對連接集為L-類,R-類和H-類等3類Green等價類的Cayley圖間的同構條件的的討論,分別刻畫了這3類Cayley圖的結構,揭示了廣義Brandt半群是一個完全0-單的純正半群的本質特征.
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        出版歷程
        • 收稿日期:  2020-06-09
        • 錄用日期:  2020-09-23
        • 網絡出版日期:  2020-09-30

        廣義Brandt半群的Cayley圖

          通訊作者: 王守峰, yingh817@163.com
        • 1. 昆明學院教師教育學院,云南 昆明 650204
        • 2. 云南師范大學 數學學院,云南 昆明 650205

        摘要: 研究廣義Brandt半群上的以Green等價類為連接集的Cayley圖,通過對連接集為L-類,R-類和H-類等3類Green等價類的Cayley圖間的同構條件的的討論,分別刻畫了這3類Cayley圖的結構,揭示了廣義Brandt半群是一個完全0-單的純正半群的本質特征.

        English Abstract

        • Cayley圖最早由英國數學家Arthur Cayley于1878年提出. 把群推廣到半群就得到半群上的Cayley圖. 研究半群的Cayley圖, 通常是利用圖的組合性質刻畫半群的結構,或利用半群的代數性質刻畫圖的組合性質,從而建立起圖論與半群理論之間的聯系. 2003年Kelarev等[1]首次研究了半群上Cayley圖的點傳遞性,利用完全單半群得到了一批點傳遞半群Cayley圖. 受此啟發和鼓舞,眾多學者展開了半群Cayley圖的研究[2-3]. Brandt半群是一類重要的半群,它是完全0-單的逆半群. Brandt半群上的Cayley圖得到了許多學者的重視,文獻[411]刻畫了Brandt半群及其上的Cayley圖的結構和性質,Cayley圖的點傳遞性,Brandt半群上的以Geeen等價類為連接集的Cayley圖.

          文獻[7]首次給出了廣義Brandt半群的定義,即完全0-單的純正半群. 本文的目的是利用這一代數結構來研究廣義Brandt半群上的以Green等價類為連接集的Cayley圖,通過對連接集為 $L$-類,$R$-類和 $H$-類等3類Green等價類的Cayley圖間的同構條件的的討論,分別刻畫了這3類Cayley圖的結構,揭示了廣義Brandt半群是一個完全0-單的純正半群的本質特征.

          • 本節給出本文中需要的一些基本概念和結果. 有向圖 $\Gamma $ 是由非空頂點集 $V = V(\Gamma )$$V$ 上的一個二元關系 $E = E(\Gamma )$(弧集)構成,記為 $\Gamma = \left( {V,E} \right)$. 弧集 $E = E(\Gamma )$ 的元素 $a = \left( {u,v} \right)$(或者 $u \sim v$)稱為圖 $\Gamma $ 的弧,$u,v$ 分別叫做弧 $a$ 的頭和尾. 空圖是一個沒有弧的圖;圖 $\Gamma $ 的基圖 $\bar \Gamma $ 是一個與圖 $\Gamma $ 有相同頂點,且滿足下列條件的圖:若 $\left( {u,v} \right)$$\left( {v,u} \right) \in E(\Gamma ),$$\left( {u,v} \right),\left( {v,u} \right) \in E(\bar \Gamma ).$ 如果圖 $\Gamma $ 的基圖 $\bar \Gamma $ 是連通的,則稱圖 $\Gamma $ 是連通的. 如果圖 $\Gamma $ 的任意一對頂點 $u,v$ 都存在一條有向路徑從 $u$$v$,則稱圖 $\Gamma $ 是強連通的. 對任意的 $v \in V,$ 連接到頂點 $v$ 的?。^)的數目稱為 $v$ 的入度,記為 $\vec d(v)$;而與頂點 $v$ 連接的?。ㄎ玻┑臄的糠Q為 $v$ 的出度,記為 $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{d} (v)$.

            對有向圖 $\Gamma = \left( {V,E} \right)$,$V' \subseteq V$, $\Gamma = \left( {V,E} \right)$ 的一個以 $V'$ 作為頂點集,以2個端點都屬于 $V'$ 的在原圖 $\Gamma = \left( {V,E} \right)$ 中的弧作為弧集的子圖被稱為 $V'$ 導出子圖,記作 $\Gamma (V')$. 對于任意的正整數 $m,n$,完全圖 ${K_m}$ 是指有 $m$ 個頂點,其中每個頂點都與其他頂點連接的圖;一個 $n$ 部圖是指滿足下列條件的圖:頂點被分成 $n$ 個子集 ${V_1},{V_2}, \cdots ,{V_n}$ 的不交并,且在同一個子集中的任2個點不連接. 完全 $n$ 部圖是指一個 $n$ 部圖且來自不同子集的任意2點均連接. $n{K_m}$$n$ 個完全圖 ${K_m}$ 復制的不交并. 對2個有向圖 ${\Gamma _1} = \left( {{V_1},{E_1}} \right)$${\Gamma _2} = \left( {{V_2},{E_2}} \right)$,圖同態 $\varphi : {\Gamma _1} \to {\Gamma _2}$ 是一個滿足 $\left( {u,v} \right) \in {E_1} \Rightarrow \left( {\varphi (u),\varphi (v)} \right) \in {E_2}$ 的映射 $\varphi : {V_1} \to {V_2}$;若映射 $\varphi : {\Gamma _1} \to {\Gamma _2}$ 是個雙射,且 $\varphi $${\varphi ^{ - 1}}$ 都是圖同態, 則稱 $\varphi $ 為圖同構映射,此時稱圖 $ {\Gamma _1}$${\Gamma _2}$ 同構,記作 $ {\Gamma _1} \cong {\Gamma _2}$;圖同態 $\varphi : \Gamma \to \Gamma $ 稱為自同態,圖同構 $\varphi : \Gamma \to \Gamma $ 稱為自同構. 未說明的圖論術語和名詞,可參考文獻[8].

            $S$ 是半群,$A$$S$ 的子集. 定義Cayley圖 $Cay(S,A)$ 如下:其頂點集 $V(Cay(S,A)) = S$,對任意 $u,v \in S, $$\left( {u,v} \right)$(或者 $u \sim v$)是 $Cay(S,A)$ 的一條邊,如果存在 $a \in A$, 使得 $v = au.$ 即邊集是

            $\qquad E\left( {Cay\left( {S,A} \right)} \right) = \left\{ {\left( {s,as} \right):s \in S,a \in A} \right\}.$

            集合 $A$ 稱為Cayley圖 $Cay(S,A)$ 的連接集。當然,若 $A$ 是空子集,則Cayley圖 $Cay(S,A)$ 是空圖. 因此在本文中設 $A$$S$ 的非空子集.

            $S$ 是半群. 據文獻[5],有以下Green等價關系:對任意的 $a,b \in S,$

            $\qquad aLb \Leftrightarrow {S^1}a = {S^1}b;\;aRb \Leftrightarrow a{S^1} = b{S^1}. $

            $H = L \cap R$. 易見,對任意的 $a,b \in S,$$aLb$ 當且僅當或者 $a = b$ 或者存在 $x,y \in S,$ 使得 $a = xb$$b = ya$. 對關系 $R$$H$ 也有類似結果.

            完全0-單的純正半群稱為廣義Brandt半群. Yamada在文獻[7]中給出的這類半群的如下結構定理.

            定理 1[7] 設 ${G^0}$ 是一個0-群(在群 $G$ 上添加0元得的半群),$I$$J$ 是非空集, $P = ({p_{ji}})$ 是一個 $J \times I$-矩陣,$\left\{ {{I_\lambda }:\lambda \in \Lambda } \right\}$$\left\{ {{J_\mu }:\mu \in \Lambda } \right\}$ 分別是集合 $I$$J$ 的不交子集族(其中 $\Lambda $ 是一個指標集),且滿足下列條件:

            (1)$I = \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda } {{I_\lambda }} ,{\kern 1pt} \;J = \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda } {{J_\lambda }} $;

            (2)對任意的 $\lambda ,\mu \in \Lambda $$j \in {J_\mu },i \in {I_\lambda },$

            $\qquad {p_{ji}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0,\;\;\;\;\lambda \ne \mu ,}\\ {1,\;\;\;\;\lambda {\rm{ = }}\mu .} \end{array}} \right.$

            $S = (I \times G \times J) \cup \{ 0\} $ 關于下列運算

            $\qquad (i,g,j)(u,h,v) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(i,g{p_{ju}}h,v)},&{{p_{ju}} \ne 0,}\\ 0,&{{p_{ju}} = 0,} \end{array}} \right.\;\;\;\;\;\;(i,g,j)0 = 0(i,g,j) = 00 = 0 $

            構成廣義Brandt半群,記之為 $S = {M^0}\left( {I,J;G;P;\Lambda } \right)$. 反之,任何廣義Brandt半群均可如此構造.

            本文以下恒設 $S = {M^0}\left( {I,J;G;P;\Lambda } \right)$ 是廣義Brandt半群. 對于給定的 $i \in {I_\lambda },j \in {J_\lambda },$

            $\qquad {S_{i - }} = \left\{ {\left( {i,g,j} \right):g \in G,j \in J} \right\}, \;{S_{ - j}} = \left\{ {\left( {i,g,j} \right):i \in I,g \in G} \right\},\;{S_{ij}} = \left\{ {\left( {i,g,j} \right):g \in G} \right\}. $

            則諸 ${S_{i - }},{S_{ - j}},{S_{ij}}$ 就分別是 $S$$R$-類、$L$-類和 $H$-類.

          • 先考慮廣義Brandt半群關于 L-類 ${S_{ - j}}$ 的Cayley圖.

            引理 1 設 $A \subseteq S,$$\left( {i,g,j} \right),\left( {k,h,l} \right) \in S, i \in {I_\lambda }.$ 則在 $Cay(S,A)$ 中,$(i,g,j) \sim (k,h,l)$ 當且僅當 $j = l$ 且存在 $v \in {J_\lambda },$$(k,h{g^{ - 1}},v) \in A.$

            證明 充分性顯然. 下證必要性. 設 $(i,g,j) \sim (k,h,l)$,則存在 $(u,x,v) \in A$ 使得

            $\qquad \left( {k,h,l} \right) = (u,x,v)(i,g,j). $

            這表明 $v \in {J_\lambda },$${p_{vi}} = 1,$$j = l,u = k$$x = h{g^{ - 1}}$ ,于是 $(k,h{g^{ - 1}},v) \in A.$ 證畢.

            命題 1 設 $\left( {u,g,v} \right),\left( {s,h,t} \right) \in S, $$j \in {J_\lambda }.$ 則在 $Cay(S,{S_{ - j}})$ 中:

            (1) $\left( {u,g,v} \right) \sim \left( {s,h,t} \right) $ 當且僅當$v = t,\;u \in {I_\lambda }$;

            (2) $\left( {u,g,v} \right) \sim 0$ 當且僅當 $ u \notin {I_\lambda }.$

            命題 2 設 $ i \in {I_\mu },j \in {J_\lambda }.$ 則在 $Cay(S,{S_{ - j}})$ 中,有以下結論:

            (1)對任意 $v \in {J_\lambda },$${I_\lambda } \times G \times \left\{ v \right\}$ 導出的子圖是 ${K_{\left| {{I_\lambda }} \right|\left| G \right|}}$ ;

            (2)若 $\lambda \ne \mu $$\lambda = \mu $),則由 ${S_{i - }}$ 導出的子圖是空圖(${K_{\left| G \right|}}$) ;

            (3)若 $u \in {I_\lambda }$,則頂點 $a = \left( {u,g,v} \right)$ 的出度是 $\left| {\rm{I}} \right|\left| G \right|$;當 $u \notin {I_\lambda }$ 時,$a = \left( {u,g,v} \right)$ 的出度為 ${\rm{1}}$ ;

            (4) $a = \left( {u,g,v} \right)$ 的入度為 $\left| {{{\rm{I}}_\lambda }} \right|\left| G \right|,$ 0的入度為 ${\rm{(}}\left| {\rm{I}} \right| - \left| {{{\rm{I}}_\lambda }} \right|)\left| G \right|\left| J \right| + 1.$

            證明?。?)任取2點 $\left( {s,g,v} \right),\left( {t,h,v} \right) \in {I_\lambda } \times G \times \left\{ v \right\}$,因為 $v \in {J_\lambda },$ 根據命題1總存在 $(t,h{g^{ - 1}},j) \in {S_{ - j}}$$(s,g{h^{ - 1}},j) \in {S_{ - j}}$,使得 $\left( {s,g,v} \right) \sim \left( {t,h,v} \right)$$\left( {t,h,v} \right) \sim \left( {s,g,v} \right)$. 而 $\left| {{I_\lambda } \times G \times \left\{ v \right\}} \right| = \left| {{I_\lambda }} \right|\left| G \right|$,所以Cayley圖 $Cay(S,{S_{ - j}})$${I_\lambda } \times G \times \left\{ v \right\}$ 的導出子圖是完全圖 ${K_{\left| {{I_\lambda }} \right|\left| G \right|}}.$

            (2)如果 $\lambda \ne \mu $,對于任意的 $a,b \in {S_{i - }}$,在 ${S_{ - j}}$ 中找不到任何元使 $a \sim b$,所以Cayley圖 $Cay(S,{S_{ - j}})$${S_{i - }}$ 的導出子圖是空圖;如果 $\lambda = \mu $,$\left| {{I_\lambda }} \right| = 1$,由(1)得 $Cay(S,{S_{ - j}})$${S_{i - }}$ 的導出子圖是完全圖 ${K_{\left| G \right|}}$.

            (3)當 $u \in {I_\lambda }$ 時,對任意 $(i,x,j) \in {S_{ - j}} $,有 ${p_{ju}} = 1,$ 這表明頂點 $a = \left( {u,g,v} \right)$ 出度為

            $\qquad |\{ (i,x,j)(u,g,v):(i,x,j) \in {S_{ - j}}\} | = |\{ (i,xg,v):i \in I,x \in G\} | = |\{ (i,y,v):i \in I,y \in G\} | = \left| I \right||G|.$

            $u \notin {I_\lambda }$ 時,對任意 $(i,x,j) \in {S_{ - j}} $,有 ${p_{ju}} = 0,$ 這表明 $0 = \left( {i,x,j} \right)\left( {u,g,v} \right)$,說明 $\left( {u,g,v} \right)$ 的出度為 ${\rm{1}}{\rm{.}}$

            (4)考慮 $\left( {u,g,v} \right)$ 的入度,首先 ${p_{js}} = 1,$

            $\qquad \begin{split} \vec d\left( {\left( {u,g,v} \right)} \right) &= |\{ (s,h,t):(u,g,v){\rm{ = }}(u,x,j)(s,h,t):(u,x,j) \in {S_{ - j}},s \in {I_\lambda },t = v\} |=\\ & |\{ (s,{x^{ - 1}}g,v):s \in {I_\lambda },x \in G\} | = |\{ (s,y,v):s \in {I_\lambda },y \in G\} | = \left| {{I_\lambda }} \right||G|. \end{split} $

            由(3)的證明知0的入度只需考慮 $u \notin {I_\lambda }$ 的情形.

            $\begin{array}{l}\vec d\left( 0 \right) = |\{ (u,g,v):0 = (i,x,j)(u,g,v):(i,x,j) \in {S_{ - j}},j \in {J_\lambda }\} | = |\{ (u,g,v):u \notin {I_\lambda },g \in G,v \in J\} \cup \left\{ 0 \right\}| = \\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;|\{ (u,g,v):u \notin {I_\lambda },g \in G,v \in J\} | + 1 = (\left| {\rm{I}} \right| - \left| {{{\rm{I}}_\lambda }} \right|)\left| G \right|\left| J \right| + 1.\end{array}$

            證畢.

            定理 2 設 $j \in {J_\lambda }, l \in {J_\mu }.$$Cay(S,{S_{ - j}}) \cong Cay(S,{S_{ - l}})$ 當且僅當 $\left| {{I_\lambda }} \right| = \left| {{I_\mu }} \right|.$

            證明 必要性,若 $Cay(S,{S_{ - j}}) \cong Cay(S,{S_{ - l}})$,設 $\varphi $$Cay(S,{S_{ - j}}) \to Cay(S,{S_{ - l}})$ 的同構映射,若 $\left| S \right| = 2,$$\left| I \right| = \left| J \right| = 1,$ 自然 $\lambda = \mu ,$ 所以 $\left| {{I_\lambda }} \right| = \left| {{I_\mu }} \right| = 1.$$\left| S \right| > 2,$ 存在一個元 $s \in S,$ 使得 $s \ne 0,$$s\varphi \ne 0,$ 因此 $\vec d(s) = \vec d(s\varphi ),$ 因為 $j \in {J_\lambda }, l \in {J_\mu }.$ 由命題2(4)有 $\left| {{I_\lambda }} \right|\left| G \right| = \left| {{I_\mu }} \right|\left| G \right|$,所以 $\left| {{I_\lambda }} \right| = \left| {{I_\mu }} \right|.$

            充分性,若 $\lambda = \mu ,$ 結論顯然成立. 設 $\lambda \ne \mu ,$$\left| {{I_\lambda }} \right| = \left| {{I_\mu }} \right|,$${\psi _{\lambda ,\mu }}:{I_\lambda } \to {I_\mu }$ 是一個雙射,${\psi _{\lambda ,\lambda }}$${I_\lambda }$ 上的恒等映射. 定義映射 $\varphi :S \to S$,規定 $0\varphi = 0,$ 對于任意的 $a = \left( {u,x,v} \right),$

            $\qquad a\varphi = \left( {u,x,v} \right)\varphi = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {u{\psi _{\lambda ,\mu }},x,v} \right),}&{u \in {I_\lambda }},\\ {\left( {u{\psi ^{ - 1}}_{\lambda ,\mu },x,v} \right),}&{u \in {I_\mu }}, \\ {\left( {u,x,v} \right),}&{u \notin {I_\lambda } \cup {I_\mu }}. \end{array}} \right.$

            顯然 $\varphi $ 是一個雙射,下證 $\varphi $ 是一個圖同態. 設 $a,b \in S$,且在Cayley圖 $Cay(S,{S_{ - j}})$ 中有 $a \sim b.$

            情形1. $a = 0,$$b = 0.$ 此時 $a\varphi = b\varphi = 0,$ 在Cayley圖 $Cay(S,{S_{ - l}})$ 中自然有 $0 \sim 0$,即 $a\varphi \sim b\varphi .$.

            情形2. $a \ne 0,$$b = 0.$ 在Cayley圖 $Cay(S,{S_{ - j}})$ 中設 $a \sim b$,即 $a \sim 0,$ 依據命題2(3)有 $u \notin {I_\lambda },$ 此時若 $u \in {I_\mu },$ 已有 ${I_\lambda } \cap {I_\mu } = \phi ,$$a\varphi = \left( {u,x,v} \right)\varphi = \left( {u{\psi ^{ - 1}}_{\lambda ,\mu },x,v} \right), $$u{\psi ^{ - 1}}_{\lambda ,\mu } \in {I_\lambda } ,$ $ u{\psi ^{ - 1}}_{\lambda ,\mu } \notin {I_\mu } , $ 根據命題3,在Cayley圖 $Cay(S,{S_{ - l}})$ 中有 $a\varphi \sim 0 = b\varphi .$ 類似討論 $u \notin {I_\mu }$,即 $u \notin {I_\lambda } \cup {I_\mu }$,此時仍有在Cayley圖 $Cay(S,{S_{ - l}})$$u \notin {I_\mu },$ 仍有 $a\varphi \sim 0 = b\varphi .$

            情形3. 當 $a \ne 0$$b \ne 0$ 時,設 $b = \left( {s,y,v} \right),$ 且在Cayley圖 $Cay(S,{S_{ - j}})$$a \sim b$,必有 $u \in {I_\lambda },$$a\varphi = $ $\left( {u,x,v} \right)\varphi =$$ \left( {u{\psi _{\lambda ,\mu }},x,v} \right), u{\psi _{\lambda ,\mu }} \in {I_\mu }$$b\varphi = \left( {s,y,v} \right)\varphi = \left( { * ,y,v} \right),$ 再次根據命題1,在Cayley圖 $Cay(S,{S_{ - l}})$ 中,存在 $\left( {*,y{x^{ - 1}},l} \right) \in {S_{ - l}}$,${p_{l,u{\psi _{\lambda ,\mu }}}} = 1,$ 使得 $\left( {*,y,v} \right) = \left( {*,y{x^{ - 1}},l} \right)\left( {u{\psi _{\lambda ,\mu }},x,v} \right), $$a\varphi \sim b\varphi .$

            綜上有,$Cay(S,{S_{ - j}}) \cong Cay(S,{S_{ - l}}) $. 證畢.

            下面考慮廣義Brandt半群關于 R-類 ${S_{i - }}$ 的Cayley圖.

            命題 3 設 $i \in {I_\lambda },$ 則在Cayley圖 $Cay(S,{S_{i - }})$ 中,下列結論成立:

            (1)$\left( {u,g,v} \right) \sim \left( {s,h,t} \right) $ 當且僅當 $ v = t$$i = s$;

            (2)頂點0的出度是1. 當 $\left| \Lambda \right| = 1\left( {\left| \Lambda \right| \geqslant 2} \right)$ 時,頂點 $\left( {u,g,v} \right)$ 的出度 $\left| G \right| \left( {\left| G \right|{\rm{ + 1}}} \right)$;

            (3)當 $\left| \Lambda \right| = 1$$\left( {\left| \Lambda \right| \geqslant 2} \right)$)時, 頂點0的入度是1($\left| S \right|$);

            (4)若 $ u \ne i\left( {u = i} \right),$ 則頂點 $\left( {u,g,v} \right)$ 的入度為 ${\rm{0}} \left( {\left| I \right|\left| G \right|} \right).$

            證明?。?)由命題1立得.

            (2)對任意 $(i,g,k) \in {S_{i - }} $,有 $0 = (i,g,k)0$,故頂點0的出度是1. 當 $\left| \Lambda \right| = 1$ 時,對任意 $k \in J,$${p_{ku}} = 1,$ 這表明 $a = \left( {u,g,v} \right)$ 出度為

            $\qquad |\{ (i,x,j)(u,g,v):(i,x,j) \in {S_{i - }}\} | = |\{ (i,xg,v):x \in G\} | = |\{ (i,y,v):y \in G\} | = |G|.$

            $\left| \Lambda \right| \geqslant 2$, 則存在 $\mu \in \Lambda $ 使得 $\lambda \ne \mu .$ 從而,對任意 $k \in {J_\mu },$${p_{ku}} = 0,$ 此時,$a = \left( {u,g,v} \right)$ 出度為

            $\qquad \overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{d} \left( a \right) =|\{ (i,x,j)(u,g,v):(i,x,j) \in {S_{i - }}\} | = |\{ (i,xg,v):x \in G\} \cup \{ 0\} | = |\{ (i,y,v):y \in G\} | + 1 = |G| + 1. $

            (3)當 $\left| \Lambda \right| = 1$ 時, 只有0到0有一條邊,故0的入度是1. 當 $\left| \Lambda \right| \geqslant 2$ 時,對任意 $a \in S, $$a \sim 0,$ 故0的入度是 $\left| S \right|$.

            (4)當 $ u \ne i$ 時,在連接集 ${S_{i - }} $ 中不存在元讓 $\left( {s,h,t} \right) \sim \left( {u,g,v} \right)$,故頂點 $\left( {u,g,v} \right)$ 的入度為 ${\rm{0}} .$$ u = i$ 時,這時 ${p_{ks}} = 1,$ 頂點 $(u,g,v)$ 的入度為 $\vec d\left( a \right) = $$|\{ (s,x,t):(\exists h \in G)(\exists k \in J)\;(i,h,k)(s,x,t) = (u,g,v)\} |$$ = |\{ (s,{h^{ - 1}}g,v):s \in I,h \in G\} | = \left| I \right|\left| G \right|. $ 證畢.

            定理 3 對于 $j \in J,$ 則Cayley圖 $Cay(S,{S_{i - }})$${S_{ - j}}$ 的導出子圖同構于一個左群的Cayley圖 $Cay(I \times G,\left\{ i \right\} \times G).$ 其中 $I \times G$ 是一個左群,且這個Cayley圖 $Cay(I \times G,\left\{ i \right\} \times G)$ 與如下定義的圖 ${\Gamma _{m,n}}$ 同構. 其中圖 ${\Gamma _{m,n}}$ 的頂點集和弧集分別是

            $\qquad V({\Gamma _{m,n}}) = \left\{ {{v_1},{v_2}, \cdots ,{v_n},{v_{n + 1}}, \cdots {v_{n + m}}} \right\},\;E({\Gamma _{m,n}}) = \left\{ {({v_i},{v_j}),({v_{n + t}},{v_i}):i,j = 1,2 \cdots ,n;t = 1,2, \cdots ,m} \right\}. $

            其中 $n = \left| G \right|$$m = \left| G \right|\left( {\left| I \right| - 1} \right).$

            證 明 對任意 $\left( {u,x,j} \right),\left( {v,y,j} \right) \in {S_{ - j}},$ 在Cayley圖 $Cay(S,{S_{i - }})$$\left( {u,x,j} \right) \sim \left( {v,y,j} \right),$ 當且僅當 $v = i,$ 當且僅當在左群的Cayley圖 $Cay(I \times G,\left\{ i \right\} \times G)$$\left( {u,x} \right) \sim \left( {v,y} \right).$ 這說明映射 $\psi :\left( {u,x,j} \right) \mapsto \left( {u,x} \right)$ 是一個從Cayley圖 $Cay(S,{S_{i - }})$${S_{ - j}}$ 的導出子圖到一個左群Cayley圖 $Cay(I \times G,\left\{ i \right\} \times G)$ 的同構映射. 定理的剩余部分證明ψ是左群Cayley圖 $Cay(I \times G,\left\{ i \right\} \times G)$ 與圖 ${\Gamma _{m,n}}$ 同構映射直接驗證即可. 證畢.

            作為定理3的一個推論,有如下推論:

            推論 1 對于任意 $j,l \in J,$ 則分別由 ${S_{ - j}}$${S_{ - l}}$ 導出的2個 $Cay(S,{S_{i - }})$ 子圖同構.

          • 本節考慮廣義Brandt半群關于 $H$-類的Cayley圖 $Cay(S,{S_{ij}})$.

            命題 4 設 $j \in {J_\lambda },$$a = \left( {u,g,v} \right),b = \left( {s,h,t} \right) \in S.$$Cay(S,{S_{ij}})$ 中,下列結論成立:

            (1)$\left( {u,g,v} \right) \sim \left( {s,h,t} \right) $ 當且僅當 $ v = t, i = s$,$u \in {I_\lambda };$ $\left( {u,g,v} \right) \sim 0 $ 當且僅當 $u \notin {I_\lambda }$ ;

            (2)頂點0的出度為 ${\rm{1}}$;當 $u \in {I_\lambda }$ 時,頂點 $a$ 的出度為 $\left| G \right|$;當 $u \notin {I_\lambda }$ 時,頂點 $a$ 的出度為 ${\rm{1}}$ ;

            (3)頂點0的入度是 ${\rm{(}}\left| {\rm{I}} \right| - \left| {{{\rm{I}}_\lambda }} \right|)\left| G \right|\left| J \right| + 1.$$u \ne i$ 時,$a$ 的入度為0;當 $u = i$,$a$ 的入度為 $\left| {{{\rm{I}}_\lambda }} \right|\left| G \right|.$

            證明?。?)根據引理1即得;

            (2)因為 $0 \sim 0$,所以頂點0的出度 $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{d} (0){\rm{ = 1}}$;當 $u \in {I_\lambda }$ 時,存在 $(i,x,j) \in {S_{ij}}$,使得 ${p_{ju}} = 1,$ 頂點 $a$ 的出度 $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{d} (a){\rm{ = }}$$|\{ (i,x,j)(u,g,v):(i,x,j) \in {S_{ij}}\} | = |\{ (i,xg,v):x \in G\} | = |\{ (i,y,v):y \in G\} | = |G|.$$u \notin {I_\lambda }$ 時,只有 $a \sim 0$,所以 $\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\leftarrow}$}}{d} (a){\rm{ = 1}}$.

            (3)與頂點0連接的點 $a = \left( {u,g,v} \right),$ 只需 $u \notin {I_\lambda }$ 即可,還有 $0 \sim 0$,所以 $ \vec d(0){\rm{ = (}}\left| {\rm{I}} \right| - \left| {{{\rm{I}}_\lambda }} \right|)\left| G \right|\left| J \right| + 1.$ 下面考慮頂點 $a$ 的入度:當 $u \ne i$ 時,$\vec d(a){\rm{ = 0}}$;當 $u = i$,${p_{js}} = 1$,$(i,h,j) \in {S_{ij}}$, $\vec d(a){\rm{ = }}$$|\{ (s,x,t):(\exists h \in G)(\exists j \in J)\;(i,h,j)(s,x,t) = (u,g,v),\} |=$$ |\{ (s,{h^{ - 1}}g,v):s \in {I_\lambda },h \in G\} | = \left| {{I_\lambda }} \right|\left| G \right|.$ 證畢.

            定理 4 2個廣義Brandt半群的Cayley圖,$Cay(S,{S_{ij}}),i \in I,j \in {J_\lambda },$$Cay(S,{S_{kl}}),$$k \in I,l \in {J_\mu }$,$Cay(S,{S_{ij}}) \cong Cay(S,{S_{kl}})$ 當且僅當 $\left| {{I_\lambda }} \right| = \left| {{I_\mu }} \right|$ 并且下列條件之一成立:(1)$i \in {I_\lambda },k \in {I_\mu }$,(2)$i \notin {I_\lambda },k \notin {I_\mu }$.

            證明 必要性. 設 $\varphi $ 是從 $Cay(S,{S_{ij}})$$Cay(S,{S_{kl}})$ 的同構映射. 如果 $\left| J \right| = 1,$$\left| I \right| = 1$. 此時定理的條件1)顯然成立. 設 $\left| J \right| \ne 1,$$\left| {I \times G \times J} \right| \ne 1$, 就存在 $\left( {u,g,v} \right) \in S$,使得 $\left( {u,g,v} \right)\varphi \ne 0$,頂點 $\left( {u,g,v} \right)$$Cay(S,{S_{ij}})$ 中的入度與頂點 $\left( {u,g,v} \right)\varphi $$Cay(S,{S_{kl}})$ 中的入度相等,即 $\vec d\left( {u,g,v} \right){\rm{ = }}\vec d((u,g,v)\varphi )$,根據命題4中的條件3)有 $\left| {{{\rm{I}}_\lambda }} \right|\left| G \right| = \left| {{{\rm{I}}_\mu }} \right|\left| G \right|$,所以 $\left| {{I_\lambda }} \right| = \left| {{I_\mu }} \right|$.

            注意到 $\left( {u,g,v} \right)\varphi $ 總有 $\left( {k, * , * } \right)$ 的形式. 若 $0\varphi = 0$,如果 $i \in {I_\lambda }$,則在 $Cay(S,{S_{ij}})$$\left( {i,g,v} \right)$ 不可能與0相連,在 $Cay(S,{S_{kl}})$$\left( {i,g,v} \right)\varphi = \left( {k, * , * } \right)$ 也不可能與 $0\varphi = 0$ 相連,依據命題4中的條件(1)有 $k \in {I_\mu }$. 定理4中條件(1)成立;如果 $i \notin {I_\lambda }$,則在 $Cay(S,{S_{ij}})$$\left( {i,g,v} \right)$ 只能與0相連,在 $Cay(S,{S_{kl}})$$\left( {i,g,v} \right)\varphi = \left( {k, * , * } \right)$ 也只能與 $0\varphi = 0$ 相連,所以 $k \notin {I_\mu }$. 定理4中條件(2)成立.

            充分性:由于 $\left| {{I_\lambda }} \right| = \left| {{I_\mu }} \right|$,設 ${\psi _{\lambda ,\mu }}:{I_\lambda } \to {I_\mu }$ 是一個雙射.

            情形1:$i \in {I_\lambda },k \in {I_\mu }$,如果 $\lambda = \mu $,此時 ${\psi _{\lambda ,\mu }}:{I_\lambda } \to {I_\mu }$${I_\lambda }$ 上的一個一一變換 ${\psi _{\lambda ,\lambda }}$. 定義映射 $\varphi :S \to S$, $0\varphi = 0$, 并且

            $\qquad \left( {u,g,v} \right)\varphi = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {k,g,v} \right),}&{u = i,}&{\text{①}}\\ {\left( {i,g,v} \right),}&{u = k,}&{\text{②}}\\ {\left( {u{\psi _{\lambda ,\lambda }},g,v} \right),}&{u \in {I_\lambda }\backslash \left\{ {i,k} \right\},}&{\text{③}}\\ {\left( {u,g,v} \right),}&{u \notin {I_\lambda }.}&{\text{④}} \end{array}} \right.$

            $Cay(S,{S_{ij}})$ 中,只要 $u \in {I_\lambda }$(前3類①②③),有 $\left( {u,g,v} \right) \sim \left( {i,x,v} \right),$ 則在 $Cay(S,{S_{kl}})$$u\psi \in {I_\mu },$ 所以有 $\left( {u,g,v} \right)\varphi \sim \left( {k,x,v} \right) = \left( {i,x,v} \right)\varphi ,$ 而當 $u \notin {I_\lambda }$(第4類④)時,$\left( {u,g,v} \right) \sim 0.$ 則在 $Cay(S,{S_{kl}})$$u\psi \notin {I_\mu },$$\left( {u,g,v} \right)\varphi \sim 0 = 0\varphi .$ 此時 $\varphi $ 是一個從 $Cay(S,{S_{ij}})$$Cay(S,{S_{kl}})$ 的同構映射.

            如果 $\lambda \ne \mu $,定義映射 $\varphi :S \to S$, $0\varphi = 0$,并且

            $\qquad \left( {u,g,v} \right)\varphi = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {k,g,v} \right),}&{u = i,}&{\text{⑤}}\\ {\left( {i,g,v} \right),}&{u = k,}&{\text{⑥}}\\ {\left( {u{\psi _{\lambda ,\mu }},g,v} \right),}&{u \in {I_\lambda }\backslash \left\{ i \right\},}&{\text{⑦}}\\ {(u\psi _{\lambda ,\mu }^{ - 1},g,v),}&{u \in {I_\mu }\backslash \left\{ k \right\},}&{\text{⑧}}\\ {\left( {u,g,v} \right),}&{u \notin {I_\lambda } \cup {I_\mu }.}&{\text{⑨}} \end{array}} \right.$

            $Cay(S,{S_{ij}})$ 中只有 $u \in {I_\lambda }$(即第⑤⑦2類),$\left( {u,g,v} \right) \sim \left( {i,x,v} \right)$,而其余情形均為 $u \notin {I_\lambda }$,此時 $\left( {u,g,v} \right) \sim 0$. 而在 $Cay(S,{S_{kl}})$ 中第⑤⑦2種情形均有 $u{\psi _{\lambda ,\mu }} \in {I_\mu },$ 于是

            $\qquad \left( {u,g,v} \right)\varphi = \left( {u{\psi _{\lambda ,\mu }},g,v} \right) \sim \left( {k,x,v} \right) = \left( {i,x,v} \right)\varphi ,$

            其余情形均為 $u\psi \notin {I_\mu },$ 此時 $\left( {u,g,v} \right)\varphi \sim 0 = 0\varphi .$ 所以 $\varphi $ 是一個從 $Cay(S,{S_{ij}})$$Cay(S,{S_{kl}})$ 的同構映射,即 $Cay(S,{S_{ij}}) \cong Cay(S,{S_{kl}})$.

            情形2:$i \notin {I_\lambda },k \notin {I_\mu }$,如果 $\lambda = \mu $,此時 ${\psi _{\lambda ,\mu }}:{I_\lambda } \to {I_\mu }$ 是一個一一變換,定義映射 $\varphi :S \to S$,$0\varphi = 0$,

            $\qquad \left( {u,g,v} \right)\varphi = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {k,g,v} \right),}&{u = i,}\\ {\left( {i,g,v} \right),}&{u = k,}\\ {\left( {u{\psi _{\lambda ,\lambda }},g,v} \right),}&{u \in {I_\lambda }\backslash \left\{ {k,i} \right\},}\\ {\left( {u,g,v} \right),}&{u \notin {I_\lambda }.} \end{array}} \right.\begin{array}{*{20}{c}} {\text{①}}\\ {\text{②}}\\ {\text{③}}\\ {\text{④}} \end{array}$

            $Cay(S,{S_{ij}})$ 中只有第③種情形即 $u \in {I_\lambda }\backslash \left\{ {i,\;k} \right\}$ 時,$\left( {u,g,v} \right) \sim \left( {i,h,v} \right)$,而其余情形均為 $\left( {u,g,v} \right) \sim 0$,則在 $Cay(S,{S_{kl}})$ 中第③種情形有 $\left( {u,g,v} \right)\varphi = \left( {u{\psi _{\lambda ,\lambda }},g,v} \right) \sim \left( {k,h,v} \right) = \left( {i,h,v} \right)\varphi $,其余情形均為 $\left( {u,g,v} \right)\varphi \sim 0\varphi $. 所以 $\varphi $ 是一個從 $Cay(S,{S_{ij}})$$Cay(S,{S_{kl}})$ 的同構映射,即 $Cay(S,{S_{ij}}) \cong Cay(S,{S_{kl}})$.

            如果 $\lambda \ne \mu $,則 ${I_\lambda } \cap {I_\mu } = \emptyset $,定義映射 $\varphi :S \to S$, $0\varphi = 0$,并且

            $\qquad \left( {u,g,v} \right)\varphi = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left( {k,g,v} \right),}&{u = i,}&{\text{①}}\\ {\left( {i,g,v} \right),}&{u = k,}&{\text{②}}\\ {\left( {u{\psi _{\lambda ,\mu }},g,v} \right),}&{u \in {I_\lambda }\backslash \left\{ k \right\},}&{\text{③}}\\ {\left( {u\psi _{\lambda ,\mu }^{ - 1},g,v} \right),}&{u \in {I_\mu }\backslash \left\{ i \right\},}&{\text{④}}\\ {\left( {u,g,v} \right),}&{u \notin {I_\lambda } \cup {I_\mu }.}&{\text{⑤}} \end{array}} \right.$

            注意到 $i \notin {I_\lambda },k \notin {I_\mu }$,第①④⑤3種情況均屬于 $u \notin {I_\lambda }$,則在 $Cay(S,{S_{ij}})$$\left( {u,g,v} \right) \sim 0,$$Cay(S,{S_{kl}})$ 中始終有 $u\psi \notin {I_\mu },$ $\left( {u,g,v} \right)\varphi = \left( {u\psi ,g,v} \right) \sim 0 = 0\varphi .$ 第②、③2種情況屬于 $u \in {I_\lambda },$$Cay(S,{S_{ij}})$$\left( {u,g,v} \right) \sim \left( {i,x,v} \right),$$Cay(S,{S_{kl}})$ 中始終有 $u\psi \in {I_\mu },$$\left( {u,g,v} \right)\varphi = \left( {u\psi ,g,v} \right) \sim \left( {k,x,v} \right) = \left( {i,x,v} \right)\varphi .$$\varphi $ 是一個從Cayley圖 $Cay(S,{S_{ij}})$ 到Cayley圖 $Cay(S,{S_{kl}})$ 的同構映射. 證畢.

        參考文獻 (11)

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