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        負泊松比圓弧曲線蜂窩芯結構的力學分析

        王彥斌 劉海濤

        引用本文:
        Citation:

        負泊松比圓弧曲線蜂窩芯結構的力學分析

          作者簡介: 王彥斌(1996?),男,河南人,碩士生,主要研究力學超材料. E-mail:863576164@qq.com;
          通訊作者: 劉海濤, htliu@hebut.edu.cn
        • 中圖分類號: O341

        Mechanical analysis of the circular curve honeycomb core with negative Poisson′s ratio

          Corresponding author: LIU Hai-tao, htliu@hebut.edu.cn
        • CLC number: O341

        • 摘要: 負泊松比機械超材料獨特的力學性能,使其在航空航天、醫療設備、國防工程等領域具有廣泛應用前景. 文章提出了一種具有負泊松比特性的弧角可變的圓弧曲線蜂窩芯結構,改進了傳統內凹六邊形蜂窩芯結構的胞元設計. 運用能量法給出了不同弧角下圓弧曲線蜂窩芯結構在小形變范圍內等效彈性模量和泊松比的理論公式,與有限元結果有較好的吻合度,驗證了理論公式的正確性. 同時,給出了圓弧曲線弧角,胞元長寬比和桿厚等結構參數對本結構等效彈性模量和泊松比的影響規律. 研究結果可為新型負泊松比機械超材料的優化設計及應用提供新的思路.
        • 圖 1  圓弧曲線蜂窩芯結構的周期陣列

          Figure 1.  The periodic structure of circular curve honeycomb cores

          圖 2  圓弧曲線蜂窩芯結構的尺寸特征

          Figure 2.  Geometrical characteristics of the circular curve honeycomb core

          圖 3  結構中圓弧曲線桿的幾何參數

          Figure 3.  Geometrical parameters of the circular curve

          圖 4  圓弧曲線蜂窩芯結構的受力分析

          Figure 4.  Mechanical analysis of circular curve honeycomb cores

          圖 5  圓弧曲線受x方向均勻載荷時的力學分析

          Figure 5.  The force analysis of circular curve honeycomb core along x direction

          圖 6  圓弧曲線弧角對等效彈性模量的影響

          Figure 6.  Variation of effective elastic modulus with the arc angle of circular curve

          圖 7  圓弧曲線弧角對泊松比的影響

          Figure 7.  Variation of Poisson’s ratio with the arc angle of circular curve

          圖 8  弧角和Ly/Lx比值對y方向泊松比的影響

          Figure 8.  Variation of effective elastic modulus in y direction with the arc angle and the slenderness ratio Ly/Lx

          圖 9  桿厚度h對泊松比的影響

          Figure 9.  Variation of Poisson’s ratio with the bar thickness

          幸运快三
        • [1] Jiao P C, Alavi A H. Buckling analysis of graphene?reinforced mechanical metamaterial beams with periodic webbing patterns[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2018, 131: 1-18. DOI:  10.1016/j.ijengsci.2018.06.005.
          [2] Liu J L, Liu J Y, Mei J, et al. Investigation on manufacturing and mechanical behavior of all-composite sandwich structure with Y-shaped cores[J]. Composites Science and Technology, 2018, 159: 87-102. DOI:  10.1016/j.compscitech.2018.01.026.
          [3] Gibson L J, Ashby M F, Schajer G S, et al. The mechanics of two?dimensional cellular materials[J]. Proceedings of the Royal Society A-Mathematical Physical and Engineering Sciences, 1982, 382: 25-42.
          [4] 于相龍, 周濟. 力學超材料的構筑及其超常新功能[J]. 中國材料進展, 2019, 38(1): 14-41. Yu X L, Zhou J. Mechanical metamaterials: Architected materials and unexplored properties[J]. Materials China, 2019, 38(1): 14-41.
          [5] Jiang Y Y, Li Y N. 3D printed auxetic mechanical metamaterial with chiral cells and re-entrant cores[J]. Scientific Reports, 2018, 8: 2 397. DOI:  10.1038/s41598-018-20795-2.
          [6] Zhang G D, Khandelwal K. Computational design of finite strain auxetic metamaterials via topology optimization and nonlinear homogenization[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2019, 356: 490-527. DOI:  10.1016/j.cma.2019.07.027.
          [7] Li X, Gao L B, Zhou W Z, et al. Novel 2D metamaterials with negative Poisson’s ratio and negative thermal expansion[J]. Extreme Mechanics Letters, 2019, 30: 100 498. DOI:  10.1016/j.eml.2019.100498.
          [8] Wu W W, Hu W X, Qian G A, et al. Mechanical design and multifunctional applications of chiral mechanical metamaterials: A review[J]. Materials and Design, 2019, 180: 107 950. DOI:  10.1016/j.matdes.2019.107950.
          [9] Evans K E, Nkansh M A, Hutchinson I J, et al. Molecular network design[J]. Nature, 1991, 353(6 340): 124.
          [10] Alderson A. A triumph of lateral thought[J]. Chem Ind, 1999, 17: 384-391.
          [11] Lakes R. Foam structures with a negative Poisson's ratio[J]. Science, 1987, 235: 1 038-1 040. DOI:  10.1126/science.235.4792.1038.
          [12] 蔣偉, 馬華, 王軍, 等. 基于環形蜂窩芯結構的負泊松比機械超材料[J]. 科學通報, 2016, 61(13): 1 421-1 427. DOI:  10.1360/N972015-01314. Jiang W, Ma H, Wang J, et al. Mechanical metamaterial with negative Poisson’s ratio based on circular honeycomb core[J]. Chinese Science Bulletin, 2016, 61(13): 1 421-1 427.
          [13] Huang J, Zhang Q H, Fabrizio S, et al. In-plane elasticity of a novel auxetic honeycomb design[J]. Composites Part B—Engineering, 2017, 110: 72-82. DOI:  10.1016/j.compositesb.2016.11.011.
          [14] Wang X T, Wang B, Li X W, et al. Mechanical properties of 3D re-entrant auxetic cellular structures[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2017, 131-132: 396-407. DOI:  10.1016/j.ijmecsci.2017.05.048.
          [15] 王梁, 劉海濤. X型內凹蜂窩結構的拉伸力學行為研究[J]. 機械強度, 2020, 42(4): 896-900. Wang L, Liu H T. Study on tensile mechanical behavior of X-type re-entrant honeycomb structure[J]. Journal of Mechanical Strength, 2020, 42(4): 896-900.
          [16] 沈建邦, 肖俊華. 負泊松比可變弧角曲邊內凹蜂窩結構的力學性能[J]. 中國機械工程, 2019, 30(17): 2 135-2 141. Shen J B, Xiao J H. Mechanics properties of negative Poisson’s ratio honeycomb structures with variable arc angle curved concave sides[J]. China Mechanical Engineering, 2019, 30(17): 2 135-2 141.
        • [1] 黃漢林屈俊童雷真羅生明 . 基坑有限元數值模擬的土體彈性模量取值分析. 云南大學學報(自然科學版), 2015, 37(S1): 30-. doi: 10.7540/j.ynu.20150
          [2] 李曉琴陳建飛陸勇 . KC局部損傷混凝土材料模型在精細有限元模擬中的應用. 云南大學學報(自然科學版), 2015, 37(4): 541-547. doi: 10.7540/j.ynu.20150263
          [3] 卓郅穎秦云酒明會 . 在ANSYS中快速實現有限元模型的建立方法. 云南大學學報(自然科學版), 2015, 37(S1): 36-. doi: 10.7540/j.ynu.20150a1
          [4] 馬春暉史艷維李生剛 . 超理想與二值有限可加測度. 云南大學學報(自然科學版), 2011, 33(3): 253-256 .
          [5] 王瑞金永超郭繼文 . 鋼筋混凝土受彎構件有限元分析與模擬實驗研究. 云南大學學報(自然科學版), 2014, 36(S1): 24-30. doi: 10.7540/j.ynu.20140168
          [6] 吳乾超溫元斌段劍金張皓晶張 雄 . 夫瑯禾費單縫衍射在彈性模量測量中的應用. 云南大學學報(自然科學版), 2014, 36(S2): 227-231. doi: 10.7540/j.ynu.2014b30
          [7] 潘江敏 . 有限交換群的自同構群階. 云南大學學報(自然科學版), 2003, 25(2): 88-90.
          [8] 徐穎吾程丹 . 有限群的Z?條件半置換子群. 云南大學學報(自然科學版), 2019, 41(2): 225-231. doi: 10.7540/j.ynu.20180345
          [9] 王連勝夏冬艷丁學用汪源 . 魚刺狀寬帶超材料吸波體設計研究. 云南大學學報(自然科學版), 2015, 37(5): 728-732. doi: 10.7540/j.ynu.20150236
          [10] 唐艷聞道君 . Banach空間中有限簇偽壓縮映象的修正迭代算法. 云南大學學報(自然科學版), 2014, 36(5): 629-636. doi: 10.7540/j.ynu.20130495
          [11] 潘江敏 . 有限交換群的自同構群的階. 云南大學學報(自然科學版), 2004, 26(5): 370-372.
          [12] 王國棟葉銳陸正福 . 一般有限域GF(pm)上線性碼的自同構群. 云南大學學報(自然科學版), 2004, 26(1): 11-14,19.
          [13] 李娟 . 對流Cahn-Hilliard方程的高精度有限差分方法. 云南大學學報(自然科學版), 2017, 39(4): 513-522. doi: 10.7540/j.ynu.20160486
          [14] 陳順民陳貴云 . 共軛置換子群與有限群的可解性. 云南大學學報(自然科學版), 2008, 30(5): 443-447.
          [15] 趙婷婷梁立高云 . 基于擬拓撲的有限集上拓撲構建遞推算法. 云南大學學報(自然科學版), 2013, 35(6): 744-749. doi: 10.7540/j.ynu.20130347
          [16] 黃麗云孔維麗何青海 . 有限維空間中集值映射及其導數的連續選擇. 云南大學學報(自然科學版), 2006, 28(4): 289-292.
          [17] 劉法貴 . 具有限傳播的熱傳導模型經典解的生命跨度. 云南大學學報(自然科學版), 2008, 30(2): 119-123.
          [18] 王林徐裕光 . 有限族多值Φ-偽壓縮映象公共不動點的強收斂定理. 云南大學學報(自然科學版), 2006, 28(1): 1-7,11.
          [19] 杜凡杜小浪羅柏青赫尚麗 . 瀕危特有植物毛蕊三角車(Rinorea erianthera)在云南發現. 云南大學學報(自然科學版), 2009, 31(3): 300-301 .
          [20] 杜瑞霞劉萍 . 具有限分布時滯的模糊BAM神經網絡模型概周期解的存在性及指數穩定性. 云南大學學報(自然科學版), 2010, 32(4): 378-384, .
        • 加載中
        圖(9)
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        出版歷程
        • 收稿日期:  2019-12-02
        • 錄用日期:  2020-10-09
        • 網絡出版日期:  2020-10-16
        • 刊出日期:  2020-11-10

        負泊松比圓弧曲線蜂窩芯結構的力學分析

          作者簡介:王彥斌(1996?),男,河南人,碩士生,主要研究力學超材料. E-mail:863576164@qq.com
          通訊作者: 劉海濤, htliu@hebut.edu.cn
        • 河北工業大學 機械工程學院,天津 300401

        摘要: 負泊松比機械超材料獨特的力學性能,使其在航空航天、醫療設備、國防工程等領域具有廣泛應用前景. 文章提出了一種具有負泊松比特性的弧角可變的圓弧曲線蜂窩芯結構,改進了傳統內凹六邊形蜂窩芯結構的胞元設計. 運用能量法給出了不同弧角下圓弧曲線蜂窩芯結構在小形變范圍內等效彈性模量和泊松比的理論公式,與有限元結果有較好的吻合度,驗證了理論公式的正確性. 同時,給出了圓弧曲線弧角,胞元長寬比和桿厚等結構參數對本結構等效彈性模量和泊松比的影響規律. 研究結果可為新型負泊松比機械超材料的優化設計及應用提供新的思路.

        English Abstract

        • 機械超材料(Mechanical Metamaterials)是目前國內外的一個研究熱點. 其理念是通過對材料微觀結構的巧妙設計,實現超越材料本身的力學性能甚至產生材料本身所不具有的力學特性[1]. 機械超材料這個概念被系統化命名之前,通過微觀結構的巧妙布置改善材料整體性能的設計方法就已經存在,如輕質結構、夾芯結構[2]等在航空航天的輕量化等方面早已有較好的應用. 早在1982年Gibson等[3]就推導出平面六邊形蜂窩結構材料的等效參數,并提出了Gibson公式. 從超材料概念的提出,再到近幾年機械超材料方面研究的興起[4-5],學者們對機械超材料,特別是負泊松比結構[6]、負熱膨脹結構[7]、手性結構[8]等的研究取得了一定的成果.

          負泊松比機械超材料并非天然材料,而是一類特殊的人造結構,這正是它擁有絕大多數天然材料都不具有的負泊松比特性的原因. 其在受到軸向壓縮時橫向截面會發生收縮,反之在受到拉伸時它的橫向截面會發生膨脹,巧妙的結構設計使其具有了與自然界中絕大多數正泊松比材料截然相反的力學性質,具有這種獨特性質的結構/材料被Evans等[9]命名為Auxetics(拉脹材料). 自負泊松比材料獨特的“拉脹”現象被人們發現后,它就成為了國內外的研究熱點之一,原因在于它的某些力學性能相比傳統材料有了很大的提高:當負泊松比材料受到壓痕阻力時,由于其負泊松比特性,四周的結構會向受力處移動,因而能很好地抵抗局部壓痕阻力[10]. Lakes最先提出了內凹六邊形蜂窩芯結構[11],許多學者對這種結構進行了研究和改進. 蔣偉等[12]將傳統的內凹六邊形蜂窩芯結構改進為環形蜂窩芯結構,推導出了其等效彈性模量. Huang等[13]對內凹六邊形蜂窩芯結構進行了三維優化. Wang等[14]進行了內凹六邊形蜂窩芯結構的彈性模量與泊松比的理論推導和三維搭接. 王梁和劉海濤[15]將星型和內凹六邊形的微結構相結合設計了一種新型內凹蜂窩芯結構模型. 沈建邦等[16]將環形蜂窩芯結構的弧角進行改變并進行了等效彈性模量和泊松比的理論推導.

          本文對傳統內凹六邊形蜂窩芯結構單元進行了優化,提出了一種由圓弧曲線構成的負泊松比結構,建立了相應的力學模型. 運用能量法給出了圓弧曲線蜂窩芯結構的等效彈性模量、泊松比與各結構參數之間的關系;得到了圓弧曲線蜂窩芯結構在小形變范圍內等效彈性模量和泊松比的理論計算公式. 同時,進行了有限元仿真分析,所得結果與理論結果吻合度較好,從而證明了理論公式的正確性.

          • 本文提出了一種圓弧曲線蜂窩芯結構,如圖1所示為該結構的二維排布方式. 圖2所示為該結構的具體尺寸特征. 可以看出,該二維結構由不斷對稱排布的弧角可變的圓弧曲線桿和不斷連接圓弧曲線頂點的豎直桿構成. 采用圓弧曲線桿作為產生負泊松比效應的核心桿,相比于內凹六邊形蜂窩芯結構,其結構具有更大的彈性變形階段且很好地消除了應力集中現象.

            圖  1  圓弧曲線蜂窩芯結構的周期陣列

            Figure 1.  The periodic structure of circular curve honeycomb cores

            圖  2  圓弧曲線蜂窩芯結構的尺寸特征

            Figure 2.  Geometrical characteristics of the circular curve honeycomb core

          • 為了研究圓弧曲線蜂窩芯結構的力學特性,從圖2所示的單元體結構中選取如圖3所示的圓弧曲線桿,其中θ為一段圓弧曲線所對應弧度,l為弧線所對應半徑長度,其他幾何參數均通過計算得到. 導致節點位移的主要因素為彎矩,相比之下正應力或切應力導致的位移是很小的,因此在本節中只討論彎矩對形變的影響,而正應力和切應力對形變的影響將在下文中討論.

            圖  3  結構中圓弧曲線桿的幾何參數

            Figure 3.  Geometrical parameters of the circular curve

          • 當結構在y方向上受載時,由于其對稱性,假設直桿對圓弧曲線桿的作用力大小為F,則圓弧曲線桿受力情況如圖4(a)所示. 由于圓弧曲線桿關于力F的方向中心對稱,只需對其一側進行計算即可. 對桿右側中弧BC與弧CD兩小段分別建立極角坐標系如圖4(b)所示. 當豎直桿受到力F時,由于對稱性,B點左右側截面上剪應力大小為1/2F,A、B、D點轉角為0且C處彎矩為0,得出A點與D點處受到彎矩:

            圖  4  圓弧曲線蜂窩芯結構的受力分析

            Figure 4.  Mechanical analysis of circular curve honeycomb cores

            $\qquad M = \frac{1}{2}Fl\sin \theta .$

            在弧BC中左右兩段上彎矩是關于兩個極角坐標系角度φ,?的函數MBCy(φ),MCDy(?)為:

            $\qquad {M_{BCy}}(\varphi ) = \frac{1}{2}Fl\sin \theta - \frac{1}{2}Fl\sin \varphi ,$

            $\qquad {M_{CDy}}(\phi ) = \frac{1}{2}Fl\sin \phi - \frac{1}{2}Fl\sin \theta .$

            利用單位載荷法計算節點B與節點Dy方向上的相對位移Δyy和節點A與節點Dx方向上的相對位移Δyx,分別作用y方向和x方向上的單位載荷如圖4(c)圖4(d)所示,則桿內的彎矩分別為:

            $\qquad {\bar M_{BC1}}(\varphi ) = \frac{1}{2}l\sin \theta - \frac{1}{2}l\sin \varphi ,$

            $\qquad {\bar M_{CD1}}(\phi ) = \frac{1}{2}l\sin \phi - \frac{1}{2}l\sin \theta ,$

            $\qquad {\bar M_{BC2}}(\varphi ) = l(\cos \varphi {\rm{ - }}\cos \theta ),$

            $\qquad {\bar M_{CD2}}(\phi ) = l(\cos \theta - \cos \varphi ).$

            可以計算出結構在y方向上受力F時節點B與節點Dy方向上的相對位移為:

            $\qquad {\Delta _{yy}} = {\rm{2}}\left[\int_{\rm{0}}^\theta {\frac{{{M_{BCy}}(\varphi ){{\bar M}_{BC1}}(\varphi )}}{{EI}}l{\rm{d}}\varphi } + \int_{\rm{0}}^\theta {\frac{{{M_{CDy}}(\phi ){{\bar M}_{CD{\rm{1}}}}(\phi )}}{{EI}}l{\rm{d}}\phi } \right]= \frac{{F{l^3}\left[ {\theta {{\sin }^2}\theta + \dfrac{{2\theta - \sin 2\theta }}{4} + 2(\cos \theta - 1)\sin \theta } \right]}}{{EI}}.$

            可以計算出結構在y方向上受力F時節點A與節點Dx方向上的相對位移為:

            $ \qquad\begin{split} & {\Delta _{yx}} = 2\left[\int_{\rm{0}}^\theta {\frac{{{M_{BCy}}(\varphi ){{\bar M}_{BC2}}(\varphi )}}{{EI}}l{\rm{d}}\varphi } + \int_{\rm{0}}^\theta {\frac{{{M_{CDy}}(\phi ){{\bar M}_{CD{\rm{2}}}}(\phi )}}{{EI}}l{\rm{d}}\phi } \right] = \\&\qquad \frac{{F{l^3}\left[ {{\rm{2}}{{\sin }^{\rm{2}}}\theta - 2\theta \sin \theta \cos \theta - 2(\cos \theta - 1)\cos \theta + \dfrac{1}{2}(\cos 2\theta - 1)} \right]}}{{EI}}. \end{split} $

          • 當圓弧曲線蜂窩芯結構受到x方向上的作用力時,由于圓弧曲線桿的對稱性,可以得出在均勻受力時桿中C點彎矩為0. 由于結構的對稱性,在均勻載荷下模型受力如圖5所示. 由于其結構關于過C點的水平線對稱,弧BC段受力與CD段受力也存在對稱關系,故實際上只需計算BC段位移即可得到整段圓弧曲線的位移情況. 故得到水平載荷下彎矩關于兩個極角坐標系角度φ,?的函數MBCx(φ),MCDx(?)為

            圖  5  圓弧曲線受x方向均勻載荷時的力學分析

            Figure 5.  The force analysis of circular curve honeycomb core along x direction

            $\qquad{M_{BCx}}(\varphi ) = Fl(\cos \varphi {\rm{ - }}\cos \theta ),$

            $\qquad{{\rm{M}}_{CDx}}(\varphi ) = Fl(\cos \theta - \cos \varphi ).$

            利用單位載荷法計算節點A與節點D的相對位移,分別作用y方向和x方向上的單位載荷如圖4(c)圖4(d)所示,得到單位載荷下圓弧曲線桿上的彎矩與式(2)和式(3)相同. 可以計算出結構在x方向上受力F時節點A與節點Dy方向上的相對位移為:

            $ \qquad{\Delta _{xy}} = {\rm{4}}\int_{\rm{0}}^\theta {\frac{{{M_{BCx}}(\varphi ){{\bar M}_{BC1}}(\varphi )}}{{EI}}l{\rm{d}}\varphi } = \frac{{F{l^3}\left[ {{\rm{2}}{{\sin }^{\rm{2}}}\theta - 2\theta \sin \theta \cos \theta - 2(\cos \theta - 1)\cos \theta + \dfrac{1}{2}(\cos 2\theta - 1)} \right]}}{{EI}}. $

            同時,可以得到結構在x方向上受力F時節點B與節點Dx方向上的相對位移為:

            $ \qquad{\Delta _{xx}} = {\rm{4}}\int_{\rm{0}}^\theta {\frac{{{M_{BCx}}(\varphi ){{\bar M}_{BC{\rm{2}}}}(\varphi )}}{{EI}}l{\rm{d}}\varphi } = \frac{{{\rm{4}}F{l^3}\left( {\dfrac{\theta }{{\rm{2}}} + \dfrac{{\sin 2\theta }}{4} - 2\cos \theta \sin \theta + \theta {{\cos }^2}\theta } \right)}}{{EI}}. $

          • y方向上的應力和應變分別為:

            $\qquad{\sigma _y} = \frac{F}{{{L_x}b}},\;{\varepsilon _y} = \frac{{{\Delta _{yy}}}}{{{L_y}}},$

            其中,b為該結構在z方向上的厚度,根據y方向受力時的節點位移可以計算出y方向上的等效彈性模量:

            $ \qquad{E_y} = \dfrac{{{\sigma _y}}}{{{\varepsilon _y}}}= \dfrac{{{L_y}EI}}{{{L_x}b{l^3}\left[ {\theta {{\sin }^2}\theta + \dfrac{{2\theta - \sin 2\theta }}{4} + 2(\cos \theta - 1)\sin \theta } \right]}}.$

            x方向上的應力和應變分別為:

            $\qquad{\sigma _x} = \frac{F}{{{L_y}b}},\;{\varepsilon _x} = \frac{{{\Delta _{xx}}}}{{{L_x}}}.$

            根據x方向受力時的節點位移可以計算出x方向上的等效彈性模量:

            $\qquad {E_x} = \dfrac{{{\sigma _x}}}{{{\varepsilon _x}}}= \dfrac{{{L_x}EI}}{{{\rm{4}}{L_y}b{l^3}\left( {\dfrac{\theta }{{\rm{2}}} + \dfrac{{\sin 2\theta }}{4} - 2\cos \theta \sin \theta + \theta {{\cos }^2}\theta } \right)}}.$

            對二維結構進行分析時,矩形截面對中性軸的慣性矩I=bh3/12,而在式(15),式(17)中厚度b上下抵消,也就是說計算得到的等效彈性模量是與平面形狀相關而與厚度無關的,這是符合實際情況的.

          • y方向上的泊松比:

            $\qquad {\nu _{yx}} = - \dfrac{{{\Delta _{yx}}}}{{{\Delta _{yy}}}}\dfrac{{{L_y}}}{{{L_x}}} = - \dfrac{{{\rm{2}}{{\sin }^2}\theta - 2\theta \sin \theta \cos \theta - 2(\cos \theta - 1)\cos \theta + \dfrac{1}{2}(\cos 2\theta - 1)}}{{\theta {{\sin }^2}\theta + \dfrac{{{\rm{2}}\theta - \sin 2\theta }}{4} + 2(\cos \theta - 1)\sin \theta }}\dfrac{{{L_y}}}{{{L_x}}}. $

            x方向上的泊松比:

            $\qquad {\nu _{xy}} = - \dfrac{{{\Delta _{xy}}}}{{{\Delta _{xx}}}}\dfrac{{{L_x}}}{{{L_y}}} = - \dfrac{{ - \theta \sin \theta \cos \theta + {{\sin }^2}\theta + (1 - \cos \theta )\cos \theta + \dfrac{1}{4}(\cos 2\theta - 1)}}{{\theta + \dfrac{{\sin 2\theta }}{2} - 4\cos \theta \sin \theta + 2\theta {{\cos }^2}\theta }}\dfrac{{{L_x}}}{{{L_y}}}. $

          • 由理論推導出的結構的等效彈性模量除了和材料屬性E、桿厚h還有胞元的長寬比Ly/Lx存在的系數關系外,與圓弧曲線桿的角度θ間存在復雜的函數關系. 故使用Abaqus軟件進行有限元仿真對理論解進行擬合. 采用9×9的二維結構進行模擬,材料為E=71.7 GPa,ν=0.33的鋁合金材料,結構的幾何尺寸為Ly=50 mm,Lx=100 mm,桿厚h=1 mm,厚度b=1 mm,弧度θ在0°~90°間隔7.5°取一點(不含0°和90°)進行有限元仿真,仿真與理論的結果對比如圖6圖7所示. 可以看出有限元模擬結果與理論計算結果吻合度較好,從而驗證了本文理論解在細桿、小變形條件下的正確性.

            圖  6  圓弧曲線弧角對等效彈性模量的影響

            Figure 6.  Variation of effective elastic modulus with the arc angle of circular curve

            圖  7  圓弧曲線弧角對泊松比的影響

            Figure 7.  Variation of Poisson’s ratio with the arc angle of circular curve

            圖6(a)可以看出,隨著圓弧曲線弧角的增大,y方向上的等效彈性模量Ey緩慢減??;而如圖6(b)所示,x方向上的等效彈性模量Ex則是在0°~30°內隨弧角的增大而減小. 當圓弧曲線弧角為0°時本結構退化為由x方向上的橫桿與交錯的豎直桿構成,等效彈性模量Ex近似于橫桿的材料屬性. 當角度從0°開始逐漸增大時,有一定的弧角以讓結構有彎曲變形的空間,因而等效彈性模量Ex急劇減小.

            圖7(a)可以看出,隨著圓弧曲線弧角的增大,y方向上負泊松比效應不斷增大,但在Lx確定時,弧角的增大也會限制Ly的最小尺寸;而如圖7(b)所示,x方向上負泊松比效應在0°~30°內隨弧角的增大而急劇減小,在這個范圍內正應力對結構的影響較大,再到45°之后負泊松比效應逐漸減小. 隨著桿厚h的增大,在小角度情況下的圓弧曲線桿將接近直線桿而無法產生桿厚h較小時的負泊松比效應.

            從式(15),(17),(18)和式(19)中可以看出,當其他條件不變時,在y,x方向上的等效彈性模量Ey、Ex和泊松比νyx、νxy與結構長寬的比值Ly/Lx成正比或反比,本結構y方向泊松比受圓弧曲線弧角和Ly/Lx比值的影響如圖8所示.

            圖  8  弧角和Ly/Lx比值對y方向泊松比的影響

            Figure 8.  Variation of effective elastic modulus in y direction with the arc angle and the slenderness ratio Ly/Lx

          • 在其他條件不變的情況下,隨著桿厚h的增加,桿內正應變與切應變對形變的影響逐漸增大. 其中,桿內正應力和切應力的作用效果可表示為:

            $\qquad \sigma = \frac{{{F_n}}}{A},\;\tau = \frac{{{F_s}}}{A},$

            其中,面積A=bh與桿厚h線性相關.

            而截面慣性矩I=bh3/12,與桿厚的三次方h3成正比,即正應力和切應力導致的位移Δa,彎矩導致的位移Δb與桿厚的關系如下:

            $\qquad {\Delta _a} \propto \frac{1}{{{h^2}}},\;{\Delta _b} \propto \frac{1}{{{h^{\rm{4}}}}}.$

            在不考慮桿厚增大對圓弧曲線桿可彎曲區域減小和桿連接處作用力的影響時,當桿厚h增大時,正應力和切應力導致的位移Δa和彎矩導致的位移Δb之比:

            $\qquad \frac{{{\Delta _a}}}{{{\Delta _b}}} \propto {h^2}.$

            通過式(22)可以預測隨著桿厚h的增大,結構實際的泊松比將會以近似二次拋物線的軌跡偏離理論解(不考慮正應力與切應力). 故對弧度θ=45°,Ly=50 mm,Lx=100 mm,桿厚h從1 mm到10 mm的模型進行有限元模擬得到yx方向上的泊松比. 如圖9所示,泊松比的變化趨勢與理論吻合較好,且正應力和切應力對本結構的負泊松比效應起削弱作用.

            圖  9  桿厚度h對泊松比的影響

            Figure 9.  Variation of Poisson’s ratio with the bar thickness

          • 本文提出了一種圓弧曲線蜂窩芯結構,通過能量法得出了2個方向上的等效彈性模量與泊松比的理論公式,并且使用Abaqus軟件進行有限元仿真,理論計算結果與仿真結果吻合較好,驗證了理論的正確性. 同時也討論了各尺寸參數對圓弧曲線蜂窩芯結構的力學特性的影響. 主要結論如下:

            (1)隨著圓弧曲線桿弧角的增大,y方向上等效彈性模量緩慢減小而負泊松比效應逐漸增大;

            (2)在x方向上,隨著弧角的增大等效彈性模量和負泊松比效應都急劇減??;

            (3)材料屬性和胞元長寬比與本結構力學參數存在線性關系;

            (4)桿厚的增加則對材料的負泊松比效應起到較小的削弱效果.

            綜上所述,改變各尺寸參數可調節圓弧曲線蜂窩芯結構的等效彈性模量和泊松比等力學特性. 該結果可為負泊松比機械超材料更廣泛的應用提供一定的理論依據.

        參考文獻 (16)

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