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        染病數量作為檢測信息的布病動力學模型分析

        馮建武 侯強

        引用本文:
        Citation:

        染病數量作為檢測信息的布病動力學模型分析

          作者簡介: 馮建武(1993? ),男,山西人,碩士生,主要從事動力系統及其應用方面的研究. E-mail:2232533240@qq.com;
          通訊作者: 侯強, houqiang200207@163.com
        • 中圖分類號: O175

        Dynamic model analysis of Brucellosis with the number of infections as the detection information

          Corresponding author: HOU Qiang, houqiang200207@163.com
        • CLC number: O175

        • 摘要: 檢測撲殺措施的實施對動物疫病的防控和凈化起著重要的作用,基于血清學檢測發現的染病者數量作為檢測行為的依據,建立時滯動力學模型分析檢測行為對布病傳播的影響. 首先通過無病平衡點的局部穩定性給出基本再生數R0,并證明無病平衡點是全局漸近穩定的;然后分析了地方病平衡點的存在性和疾病的持續性;最后通過數值模擬發現,當參數滿足一定條件時會出現周期解,說明檢測行為會導致復雜的傳播動力學行為,對疾病的防控是不利的.
        • 圖 1  ${{\phi}} = {{{{0}}}}{{{{.06}}}}$ 時的數值模擬圖

          Figure 1.  Numerical simulation diagram of $\phi = 0.06$

          圖 2  ${{\phi}} = {{{{0}}}}{{{{.13}}}}$ 時的數值模擬圖

          Figure 2.  Numerical simulation diagram of $\phi = 0.13$

          幸运快三
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        出版歷程
        • 收稿日期:  2019-11-28
        • 錄用日期:  2020-01-19
        • 網絡出版日期:  2020-07-27
        • 刊出日期:  2020-09-22

        染病數量作為檢測信息的布病動力學模型分析

          作者簡介:馮建武(1993? ),男,山西人,碩士生,主要從事動力系統及其應用方面的研究. E-mail:2232533240@qq.com
          通訊作者: 侯強, houqiang200207@163.com
        • 中北大學 理學院,山西 太原 030051

        摘要: 檢測撲殺措施的實施對動物疫病的防控和凈化起著重要的作用,基于血清學檢測發現的染病者數量作為檢測行為的依據,建立時滯動力學模型分析檢測行為對布病傳播的影響. 首先通過無病平衡點的局部穩定性給出基本再生數R0,并證明無病平衡點是全局漸近穩定的;然后分析了地方病平衡點的存在性和疾病的持續性;最后通過數值模擬發現,當參數滿足一定條件時會出現周期解,說明檢測行為會導致復雜的傳播動力學行為,對疾病的防控是不利的.

        English Abstract

        • 布魯氏菌病簡稱布病,是由布魯氏菌引起的一種人畜共患的急慢性傳染病. 家畜、家禽、野生動物是布魯氏菌的主要宿主[1]. 布病作為全世界常見的動物源性疾病之一,每年大約新增50萬人類病例,分布在世界各大洲的160多個國家和地區[2]. 中國多見于內蒙古、黑龍江、吉林、山西等地,每年新發病例在3萬以上[3]. 檢疫淘汰疫畜、隔離疫畜、接種免疫和消毒是布病在牲畜管理防控方面的主要措施. 目前,市場上使用的布魯氏菌疫苗為不同菌株的弱毒性疫苗,長期使用可能毒力返強(有一定的致病力),這對疫病的凈化是不利的,所以布病的消滅靠免疫是不夠的. 另外,布病的潛伏期一般為1~3周,平均為2周,而且牲畜潛伏期檢疫呈陽性不顯著,這是布病防控的一大難點. 因此,有必要建立數學模型研究潛伏期和檢疫淘汰疫畜行為對布病傳播動力學的影響.

          近年來,關于布病傳播動力學的理論性研究和應用性研究已經有很多[4-7],大部分研究反映布病的傳播機制以及定量評估免疫措施對布病傳播的影響[8-10],得出一些有效控制布病的結論. 雖然關于布病的研究已經廣泛展開,但涉及到檢測措施對布病傳播的作用和影響的文章比較少,目前只發現1篇[11]. 因此,本文主要基于血清學檢測發現的染病者作為檢測信息,建立具有時滯的布病傳播動力學模型,分析平衡點的存在性,證明無病平衡點的全局穩定性和系統的持續性,研究系統的周期行為,闡述這些現象背后的流行病學意義.

          • 根據布病傳播的特點把動物種群分為3類:易感者 $S(t)$、潛伏者 $E(t)$和可傳染者,而可傳染者分為無臨床特征的的染病者 $I(t)$ 和血清學檢測發現的染病者 ${I_d}(t)$. 總種群用 $N(t)$ 表示,則有 $N(t) = S(t) + E(t) + I(t) + I{}_d(t)$. $M$ 表示檢測發現的染病動物所產生有效的信息數量. 易感動物通??赏ㄟ^攝取環境中的布魯氏菌而被感染,但本文側重研究檢測行為對布病傳播的影響,所以忽略環境對動物的感染. 雖然血清學檢測會出現假陽性(易感動物檢測呈陽性),但檢測呈陽性的動物需要再次進行檢測確認,所以假陽性率是比較低的,故忽略假陽性的情形. $\phi $ 表示疾病信息引起的檢測比率,本文根據血清學檢測發現的染病動物作為檢測信息,并假定單位信息引起對動物種群檢測的數量是 $\phi N$,所以檢測到的染病動物為 $\phi N\dfrac{I}{N}M = \phi IM$. 布病作為中國的自然疫源疾病之一,而且國家對布病有固定的監測點,因此,假定信息量有一個固定的輸入 $\Lambda $. 并且建立了以下模型:

            $ \qquad \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{\rm{d}}S(t)}}{{{\rm{d}}t}} = A - \beta SI - \mu S, \\ \dfrac{{{\rm{d}}E(t)}}{{{\rm{d}}t}} = \beta SI - \mu E - {{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta S(t - \tau )I(t - \tau ), \\ \dfrac{{{\rm{d}}I(t)}}{{{\rm{d}}t}} = {{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta S(t - \tau )I(t - \tau ) - \mu I - m\phi IM, \\ \dfrac{{{\rm{d}}{I_d}(t)}}{{{\rm{d}}t}} = m\phi IM - \mu {I_d} - c{I_d}, \\ \dfrac{{{\rm{d}}M(t)}}{{{\rm{d}}t}} = \Lambda + \eta {I_d} - dM. \end{array} \right.$

            其中,$A$ 表示動物的補充率;$\beta $ 表示動物之間的傳染率;$\mu $ 表示動物的淘汰率. $\tau $ 表示布病的潛伏期,${{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}$ 表示 $t - \tau $ 時刻感染并處于潛伏期的動物活到 $t$ 時刻的概率,故由潛伏期轉移到無臨床特征的動物數量為 ${{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta S(t - \tau )I(t - \tau )$. $m$ 表示檢測染病動物的真陽性率;$c$ 表示被發現染病動物的捕殺率;$\eta $ 表示一個染病動物轉為有效信息的轉移率,$d$ 表示信息量的衰減率.

            模型(1)的初始條件為

            $ \qquad \left\{ \begin{array}{l} S(x) = {\phi _1}(x),E(x) = {\phi _2}(x),I(x) = {\phi _3}(x),{I_d}(x) = {\phi _4}(x),M(x) = {\phi _5}(x), \\ {\phi _k}(x) \geqslant 0,x \in [ - \tau ,0],{\phi _k}(0) > 0,k = 1,2,3,4,5. \\ \end{array} \right.$

            這里 $\tau $,${\phi _1}(x),{\phi _2}(x),{\phi _3}(x),{\phi _4}(x),{\phi _5}(x) \in C([ - \tau ,0],{\bf{R}}_{ + 0}^5)$$[ - \tau ,0]$${\bf{R}}_{ + 0}^5$ 上具有上確界范數的連續函數構成的巴拿赫空間,其中 ${\bf{R}}_{ + 0}^5 = {\rm{\{ (}}{x_1},{x_2},{x_3},{x_4},{x_5}{\rm{):}}{x_i} \geqslant {\rm{0,}}i = {\rm{1,2,3,4,5\} }}$.

          • 模型(1)有唯一的無病平衡點 ${E_0} = ({S^0},{E^0},{I^0},I_d^0,{M^0}) = \bigg(\dfrac{A}{\mu },0,0,0,\dfrac{\Lambda }{d}\bigg)$. 模型(1)的有界正不變集為 $X = {\rm{\bigg\{ }}\bigg(S,E,I,{I_d},M) \in {\bf{R}}_{ + {\rm{0}}}^{\rm{5}}{\rm{:}}\left\| {{\rm{S}} + E + {\rm{I}} + {I_d}} \right\| \leqslant \dfrac{{\rm{A}}}{\mu }{\rm{,}}\dfrac{\Lambda }{d} \leqslant \left\| {\rm{M}} \right\| \leqslant \dfrac{{\rm{1}}}{d}{\rm{(}}\Lambda + \eta \dfrac{{\rm{A}}}{\mu }{\rm{\bigg)\bigg\} }}$.

            定理 1 當 ${R_0} \leqslant {\rm{1}}$ 時,模型(1)的無病平衡點 ${E_0}$ 是全局漸近穩定的;當 ${R_0} > {\rm{1}}$ 時,無病平衡點 ${E_0}$ 是不穩定的. 其中

            $\qquad {R_0} = \dfrac{{{{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta Ad}}{{\mu (\mu d + m\phi \Lambda )}}.$

            證明 模型(1)在無病平衡點 ${E_0}$ 處的特征方程為:

            $\qquad {(\lambda + \mu )^2}(\lambda + \mu + c)(\lambda + d)(\lambda + \mu + m\phi {M^{\rm{0}}} - {{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta {S^{\rm{0}}}{{\rm{e}}^{ - \lambda \tau }}) = 0.$

            由方程(4)知 ${\lambda _{\rm{1}}} = {\lambda _{\rm{2}}} = - \mu < 0$,${\lambda _{\rm{3}}} = - (\mu + c) < 0$,${\lambda _{\rm{4}}} = - d < 0$. ${\lambda _{\rm{5}}}$ 由以下方程給出

            $\qquad \lambda + \mu + m\phi {M^{\rm{0}}} - {{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta {S^{\rm{0}}}{{\rm{e}}^{ - \lambda \tau }} = {\rm{0.}}$

            $\tau = {\rm{0}}$ 時,方程(5)可以寫為 $\lambda + \mu + m\phi {M^{\rm{0}}} - \beta {S^{\rm{0}}} = {\rm{0}}$. 當且僅當 $\dfrac{{\beta {S^{\rm{0}}}}}{{\mu + m\phi {M^{\rm{0}}}}} < 1$ 時特征值 ${\lambda _{\rm{5}}} < 0$.

            $\tau > {\rm{0}}$ 時,顯然 ${\lambda _{\rm{5}}} = 0$ 不是方程(5)的解. 假設方程(5)有形如 $\lambda = \pm {\rm{i}}k(k > 0)$ 的解,代入方程(5),將實部和虛部分離得到以下方程組

            $ \qquad k = {{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta {S^{\rm{0}}}\sin (k\tau ),\mu + m\phi {M^{\rm{0}}} = {{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta {S^{\rm{0}}}\cos (k\tau ). $

            對2個方程平方后相加得到關于 $k$ 的方程 ${k^{\rm{2}}} + {(\mu + m\phi {M^{\rm{0}}})^2} = {({{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta {S^{\rm{0}}})^2}$,從而得

            $\qquad {k^{\rm{2}}} = ({{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta {S^{\rm{0}}} + \mu + m\phi {M^{\rm{0}}})({{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta {S^{\rm{0}}} - (\mu + m\phi {M^{\rm{0}}})).$

            定義 ${R_0} = \dfrac{{{{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta Ad}}{{\mu (\mu d + m\phi \Lambda )}} < 1$,得 ${k^{\rm{2}}}$ 是負數. 從而有 $\lambda = {\rm{i}}k$ 是方程(5)的解,即當 $\tau > {\rm{0}}$ 時,方程(5)的所有根一定有負實部. 因此對所有 $\tau \geqslant {\rm{0}}$,當 ${R_0} < 1$ 時,無病平衡點是局部穩定的;當 ${R_0} > 1$ 時,無病平衡點不穩定. 構造 ${\rm{Lyapunov}}$ 泛函:

            $\qquad L(t) = I(t) + {{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\int_{t - \tau }^t {\beta S(\theta )I} (\theta ){\rm{d}}\theta .$

            $L$ 沿著模型(1)的解軌線求導:

            $\qquad \begin{array}{l} \dfrac{{{\rm{d}}L(t)}}{{{\rm{d}}t}}\left| {_{(1)}} \right. = {{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta S(t)I(t) - \mu I(t) - m\phi I(t)M(t) \leqslant {{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta {S^{\rm{0}}}I - \mu I - m\phi I{M^{\rm{0}}} = I(\mu + m\phi {M^{\rm{0}}})({R_0} - 1). \end{array}$

            ${R_0} < 1$ 時,$\dfrac{{{\rm{d}}L}}{{{\rm{d}}t}} < 0$.

            ${R_0} = 1$ 時,有 $I = {\rm{0}}$$S = {S^{\rm{0}}}$,$M = {M^{\rm{0}}}$. 對于前一種情況,由 $\dfrac{{{\rm{d}}S(t)}}{{{\rm{d}}t}} = A - \beta SI - \mu S$,得 $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } S = {S^{\rm{0}}}$. 由 $\dfrac{{{\rm{d}}E(t)}}{{{\rm{d}}t}} = - \mu E$,得出 $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } E = {\rm{0}}$,同理可得 ${I_d} = 0$. 最后通過 $\dfrac{{{\rm{d}}M(t)}}{{{\rm{d}}t}} = \Lambda - dM$,得出 $\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } M = {M^{\rm{0}}}$. 因此 $\dfrac{{{\rm{d}}L}}{{{\rm{d}}t}} = 0$ 的不變集內除無病平衡點 ${E_0}$ 外,不再包含模型(1)的其他軌線. 對于后一種情況,由 $M = {M^{\rm{0}}}$ 得出 ${I_d} = 0$,從而有 $\dfrac{{{\rm{d}}{I_d}(t)}}{{{\rm{d}}t}} = m\phi IM \equiv {\rm{0}}$,得出 $I = {\rm{0}}$. 同前一種情況. 因此,在這2種情況下,$\dfrac{{{\rm{d}}L}}{{{\rm{d}}t}} = 0$ 的最大不變集只包含唯一的點 ${E_0}\bigg(\dfrac{A}{\mu },0,0,0,\dfrac{\Lambda }{d}\bigg)$. 由 ${\rm{Lasalle}}$ 不變集原理[12]可知,當 ${R_0} \leqslant 1$ 時,無病平衡點在 $X$ 內是全局漸近穩定的.

            為分析模型(1)地方病平衡點的存在性,令模型(1)的右端為0,通過計算則有:

            $ \qquad S = \dfrac{{Am\phi (\Lambda + \eta {I_d})}}{{\beta (\mu + c)d{I_d} + \mu m\phi (\Lambda + \eta {I_d})}};$

            $\qquad E = \dfrac{{\rm{1}}}{\mu }(1 - {{\rm{e}}^{ - \mu \tau }})\dfrac{{\beta A(\mu + c)d{I_d}}}{{\beta (\mu + c)d{I_d} + \mu m\phi (\Lambda + \eta {I_d})}};$

            $ \qquad I = \dfrac{{(\mu + c)d{I_d}}}{{m\phi (\Lambda + \eta {I_d})}};$

            $ \qquad M = \dfrac{{\Lambda + \eta {I_d}}}{d}.$

            ${I_d}$ 是下面2次方程的正解

            $\qquad f(x) = A{x^2} + Bx + C{\text{,}} $

            其中

            $ \qquad A = - m\phi \eta (\beta (\mu + c)d + \mu m\phi \eta );$

            $\qquad B = m\phi \mu \eta (\mu d + m\phi \Lambda )({R_0} - 1) - \mu {d^2}\beta (\mu + c) - m\phi \Lambda (\beta (\mu + c)d + m\phi \mu \eta );$

            $\qquad C = m\phi \Lambda \mu (\mu d + m\phi \Lambda )({R_0} - 1).$

            根據方程(6)有:當 ${R_0} \leqslant 1$ 時,方程沒有正解,即模型(1)不存在正平衡點;當 ${R_0} > 1$ 時,方程僅有一個正解 $I_d^{\rm{*}}$,即模型(1)存在唯一正平衡點 ${E^{\rm{*}}}({S^{\rm{*}}},{E^{\rm{*}}},{I^{\rm{*}}},I_d^*,{M^{\rm{*}}})$. 其中

            $\qquad I_d^* = \dfrac{{ - B - \sqrt {{B^2} - 4AC} }}{{2A}}.$

            基于以上討論,可得以下結論:

            定理 2 當 ${R_0} > {\rm{1}}$ 時,模型(1)存在唯一的正平衡點 ${E^{\rm{*}}}$.

          • 為了討論疫病的一致持續性,下面給出一致持續理論[13].

            $X$ 為度量空間,假設 ${X^{\rm{0}}} \subset X$,$\partial {X^{\rm{0}}} \subset X$,${X^{\rm{0}}} \cap \partial {X^{\rm{0}}} = \emptyset $,${X^{\rm{0}}} \cup \partial {X^{\rm{0}}} = X$. $X$ 上的 ${C^{\rm{0}}}$ 半群 $T(t)$ 滿足

            $ \qquad \begin{split} &T(t):{X^0} \to {X^0}{\text{,}}\\ &T(t):\partial {X^0} \to \partial {X^0}.\end{split}$

            ${T_\partial }(t) = T(t)\left| {_{\partial {X^0}}} \right.$,${A_\partial }(t)$${T_\partial }(t)$ 的全局吸引子.

            若存在一個有界非空集 $B \in X$,使得對任意 $x \in X$,存在一個 ${t_0} = {t_0}(x,B)$,對所有 $t > {t_0}$,使得 $T(t)x \in B$ 成立,則稱 $T(t)$$X$ 中是點耗散的. 定義通過 $x$ 的正半軌為 ${\gamma ^ + }(x) = \mathop \cup \limits_{t \geqslant 0} \{ T(t)x\} $,其中 $\omega $ 極限集是 $\omega (x) = \mathop \cap \limits_{\tau \geqslant 0} CL\mathop \cup \limits_{t \geqslant \tau } \{ T(t)x\} $,其中 $CL$ 是閉包. 緊不變集 $A$ 的穩定集為 ${W^s}(A) = \{ x\left| {x \in X,} \right.$ $\omega (x) \ne \emptyset ,\omega (x) \subset A\} $. 定義 ${\tilde A_\partial } = \mathop \cup \limits_{x \in {A_\partial }} \omega (x)$,是 $A$ 的特殊不變集. 設 $M$ 是一個非空的閉不變集,若存在 $M$ 的一個鄰域使 $M$ 是最大的不變集,則稱 $M$ 是孤立不變集. 如果存在 ${\tilde A_\partial }$ 的一個有限覆蓋 $M = \mathop \cup \limits_{i = 1}^k {M_i}$,其中 ${M_i}$ 均為兩兩不連通的緊集且 ${M_i}(i = 1,2, \cdots ,k)$$T(t)$${T_\partial }(t)$ 是孤立的不變集,則稱 ${\tilde A_\partial }$ 是孤立的且 $M$${\tilde A_\partial }$ 的一個孤立的覆蓋. 若 ${M_{\rm{1}}} \to {M_{\rm{2}}} \to \cdots \to {M_{{k}}} \to {M_{\rm{1}}}$,則稱 $M = \mathop \cup \limits_{i = 1}^k {M_i}$ 為循環覆蓋;否則稱 $M$ 是非循環覆蓋.

            引理 1 若 $T(t)$ 滿足(7)式且有以下4點成立:

            (1) 存在 ${t_0} \geqslant 0$,使得對所有 $t > {t_0}$,$T(t)$ 是緊的;

            (2) $T(t)$$X$ 中是點耗散的;

            (3) ${\tilde A_\partial }$ 是孤立的且有一非循環覆蓋 $M = \mathop \cup \limits_{i = 1}^k {M_i}$;

            (4) $ {W^s}({M_i}) \cap {X^0} = \emptyset ,i = 1,2, \cdots ,n.$

            $\partial {X^{\rm{0}}}$ 是解關于 ${X^{\rm{0}}}$ 的一致排斥集,即存在 $\varepsilon > 0$,使得任意 $x \in {X^{\rm{0}}}$,有

            $\qquad \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } d(T(t)x,\partial {X^{\rm{0}}}) \geqslant \varepsilon ,$

            其中 $d$ 表示 $T(t)x$$\partial {X^{\rm{0}}}$ 的距離.

            定理 3 對于模型(1),當 ${R_0} > 1$ 時,則疫病是一致持續的,即在 $X$ 內,存在一個正數 $\varepsilon $,使得

            $\qquad \mathop {\lim \inf }\limits_{t \to \infty } (E(t),I(t),{I_d}(t)) \geqslant (\varepsilon ,\varepsilon ,\varepsilon ).$

            證明 首先證明當 ${R_0} > 1$ 時,模型(1)的疫病是一致持續的, 即證明模型(1)滿足引理1的全部條件即可.

            $C([ - \tau ,0],{\bf{R}}_{ + 0}^5)$ 是從 $[ - \tau ,0]$${\bf{R}}_{ + 0}^5$ 的連續函數構成的巴拿赫空間. 取

            $ \qquad \tilde C = \{ ({\phi _1},{\phi _2},{\phi _3},{\phi _4},{\phi _5}) \in C([ - \tau ,0],{\bf{R}}_{ + 0}^5):{\phi _1}(\theta ) \ne 0,{\phi _2}(\theta ) = {\phi _3}(\theta ) = {\phi _4}(\theta ) \equiv {\rm{0}},{\phi _5}(\theta ) \ne {\rm{0,}}\theta \in [ - \tau ,0]{\rm{\} }}. $

            ${X^{\rm{0}}} = C([ - \tau ,0],{\bf{R}}_{ + 0}^5)$,$\partial {X^{\rm{0}}} = \tilde C$. 得出模型(1)在 $\partial {X^{\rm{0}}} = \tilde C$ 中有常數解 $\tilde E = \tilde C$

            $ \qquad \tilde E = \{ ({\phi _1},{\phi _2},{\phi _3},{\phi _4},{\phi _5}) \in C([ - \tau ,0],{\bf{R}}_{ + 0}^5):{\phi _1}(\theta ) = {S^{\rm{0}}},{\phi _2}(\theta ) = {\phi _3}(\theta ) = {\phi _4}(\theta ) \equiv {\rm{0}},{\phi _5}(\theta ) = {M^{\rm{0}}},\theta \in [ - \tau ,0]{\rm{\} }}. $

            ${X^{\rm{0}}}$$\partial {X^{\rm{0}}}$ 的定義及解的有界性知,模型(1)滿足引理1的(1),(2)條件,且 ${X^{\rm{0}}}$$\partial {X^{\rm{0}}}$ 是不變集,則(7)式也滿足引理1的(1),(2)條件.

            $\dfrac{{{\rm{d}}E}}{{{\rm{d}}t}}\left| {_{({\phi _{\rm{1}}},{\phi _{\rm{2}}},{\phi _{\rm{3}}},{\phi _{\rm{4}}},{\phi _{\rm{5}}}) \in \tilde C}} \right. \equiv 0$,$\dfrac{{{\rm{d}}I}}{{{\rm{d}}t}}\left| {_{({\phi _{\rm{1}}},{\phi _{\rm{2}}},{\phi _{\rm{3}}},{\phi _{\rm{4}}},{\phi _{\rm{5}}}) \in \tilde C}} \right. \equiv 0$,$\dfrac{{{\rm{d}}{I_d}}}{{{\rm{d}}t}}\left| {_{({\phi _{\rm{1}}},{\phi _{\rm{2}}},{\phi _{\rm{3}}},{\phi _{\rm{4}}},{\phi _{\rm{5}}}) \in \tilde C}} \right. \equiv 0$,因此對所有 $t \geqslant 0$ 有     $E\left| {_{({\phi _{\rm{1}}},{\phi _{\rm{2}}},{\phi _{\rm{3}}},}}\right. \left.{_{{\phi _{\rm{4}}},{\phi _{\rm{5}}}) \in \tilde C}} \right. \equiv 0$,$I\left| {_{({\phi _{\rm{1}}},{\phi _{\rm{2}}},{\phi _{\rm{3}}},{\phi _{\rm{4}}},{\phi _{\rm{5}}}) \in \tilde C}} \right. \equiv 0$,${I_d}\left| {_{({\phi _{\rm{1}}},{\phi _{\rm{2}}},{\phi _{\rm{3}}},{\phi _{\rm{4}}},{\phi _{\rm{5}}}) \in \tilde C}} \right. \equiv 0$ 成立. 由此可得

            $ \qquad \dfrac{{{\rm{d}}S}}{{{\rm{d}}t}}\left| {_{({\phi _{\rm{1}}},{\phi _{\rm{2}}},{\phi _{\rm{3}}},{\phi _{\rm{4}}},{\phi _{\rm{5}}}) \in \tilde C}} \right. = A - \mu S,\dfrac{{{\rm{d}}M}}{{{\rm{d}}t}}\left| {_{({\phi _{\rm{1}}},{\phi _{\rm{2}}},{\phi _{\rm{3}}},{\phi _{\rm{4}}},{\phi _{\rm{5}}}) \in \tilde C}} \right. = \Lambda - dM{\text{,}} $

            $S(t)\left| {_{({\phi _{\rm{1}}},{\phi _{\rm{2}}},{\phi _{\rm{3}}},{\phi _{\rm{4}}},{\phi _{\rm{5}}}) \in \tilde C}} \right. = {S^{\rm{0}}}$,$M(t)\left| {_{({\phi _{\rm{1}}},{\phi _{\rm{2}}},{\phi _{\rm{3}}},{\phi _{\rm{4}}},{\phi _{\rm{5}}}) \in \tilde C}} \right. = {M^{\rm{0}}}$.因此 $\tilde C$ 中所有的軌線都趨向于 $\tilde E$,即 $\tilde C = {W^s}(\tilde E)$,并且 ${\tilde A_\partial } = \tilde E$ 是孤立的. 從而模型(1)的流是 ${\tilde A_\partial }$ 的非循環覆蓋,即引理1中的條件(3)成立.

            下證 ${W^s}(\tilde E) \cap {X^0} = \emptyset $. 用反證法,假設 ${W^s}(\tilde E) \cap {X^0} \ne \emptyset $,且存在模型(1)的一個正解 $I({\rm{S}}(t),E(t),I(t),{I_d}(t), M(t))$ 滿足

            $ \qquad \mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } ({\rm{S}}(t),E(t),I(t),{I_d}(t),M(t)) = ({S^{\rm{0}}},0,0,0,{M^{\rm{0}}}).$

            由文獻[14]可得,設 $\varepsilon $ 為任意充分小的正數,存在一個正常數 $\eta = \eta (\varepsilon )$,使得

            $\qquad {\rm{S}}(t) > {S^{\rm{0}}} - \varepsilon {\text{,}} {E(t)} < \varepsilon {\text{,}} {I(t)} < \varepsilon {\text{,}} {{I_d}(t)} < \varepsilon {\text{,}} {M(t)} < {M^{\rm{0}}} + \varepsilon {\text{,}} {t \geqslant \eta } .$

            由模型(1)的第3個方程知

            $\qquad {\dfrac{{{\rm{d}}I(t)}}{{{\rm{d}}t}} > {{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta ({S^{\rm{0}}} - \varepsilon )I(t - \tau ) - \mu I - m\phi I({M^{\rm{0}}} + \varepsilon )} {\text{,}} {t \geqslant \eta } + \tau .$

            考慮一個輔助系統模型

            $\qquad \begin{split} &\dfrac{{{\rm{d}}T(t)}}{{{\rm{d}}t}} > {{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta ({S^0} - \varepsilon )T(t - \tau ) - \mu T - m\phi T({M^0} + \varepsilon ) {\text{,}}\\ &T(t) \equiv I(t) {\text{,}}{t \in [\eta,\eta + \tau ]}. \end{split} $

            ${R_0} > 1$,對任意充分小的正數 $\varepsilon $,容易得出

            $ \qquad \begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}\beta ({S^{\rm{0}}} - \varepsilon ) > \mu + m\phi ({M^{\rm{0}}} + \varepsilon ).}&{} \end{array}$

            由式(9)很容易得出:當 $t$ 趨于無窮時模型(8)的任意正解趨于無窮. 通過比較原則可得,當 $t \to \infty $ 時,$I(t) \to \infty $. 根據模型(1)的第2個方程有 $E(t) = \dfrac{{\rm{1}}}{\mu }(1 - {{\rm{e}}^{ - \mu \tau }})\beta ({S^{\rm{0}}} - \varepsilon )I + {{\rm{e}}^{ - \mu \tau }}$,從而得出當 $t \to \infty $ 時,$E(t) \to \infty $. 同理根據模型(1)的第4個方程有 ${I_d}(t) = \dfrac{{m\phi ({M^{\rm{0}}} + \varepsilon )I}}{{\mu + c}} + {{\rm{e}}^{ - (\mu + c)t}}$,從而得出當 $t \to \infty $ 時,${I_d}(t) \to \infty $. 這與 $t \geqslant \eta $ 時,$E(t) < \varepsilon ,I(t) < \varepsilon ,{I_d}(t) < \varepsilon $ 矛盾. 因此 ${W^s}(\tilde E) \cap {X^0} = \emptyset$. 即模型(1)滿足引理1的所有條件. 由引理1可得模型(1)的正解是一致持續的. 證畢.

          • 本節利用數值模擬的方法,說明模型(1)在地方病平衡點 ${E^{\rm{*}}}$ 處的動力學性質. 所取參數值為 $A = {\rm{150}}{\text{,}}\beta = 0.03{\text{,}}\mu = 0.3{\text{,}}m = 1{\text{,}}c = 0.2{\text{,}}\Lambda = 0.12{\text{,}}\eta = {\rm{0}}{\rm{.26}}{\text{,}}\tau = {\rm{0}}{\rm{.6}}{\text{,}}d = 0.02$. 圖1$\phi = {\rm{0}}{\rm{.06}}$ 時的數值模擬圖,其中圖1 $({\rm{a}})$ 表示 $I$ 的時間序列圖,圖1 $({\rm})$ 表示 $M - {I_d} - I$ 的相圖. 從圖1 $({\rm{a}}) $看出曲線最后趨于一條直線,平衡點 ${E^{\rm{*}}}$ 是全局穩定的.

            圖  1  ${{\phi}} = {{{{0}}}}{{{{.06}}}}$ 時的數值模擬圖

            Figure 1.  Numerical simulation diagram of $\phi = 0.06$

            圖2$\phi = {\rm{0}}{\rm{.13}}$ 時的數值模擬圖,其中圖2 $({\rm{a}})$ 表示 $I$ 的時間序列圖,圖2 $({\rm})$ 表示 $M - {I_d} - I$ 的相圖. 從圖2(a)中可以看出在地方病平衡點 ${E^{\rm{*}}}$ 處會出現分支,產生周期解.

            圖  2  ${{\phi}} = {{{{0}}}}{{{{.13}}}}$ 時的數值模擬圖

            Figure 2.  Numerical simulation diagram of $\phi = 0.13$

            結合圖1圖2可以看出 $\phi $ 值從小到大,周期解從無到有,說明檢測比率的變化對布病的傳播動力學有很大的影響,說明適當降低動物檢測比率對疾病的控治是必要的.

            本文基于布病傳播的具體特點,建立了反映檢測行為的布病傳播動力學模型(1),通過分析模型(1),發現檢測對模型的動力學性質有顯著的影響. 周期振蕩行為的出現對布病防控措施的有效執行產生嚴重影響(例如疫病在周期運行的最低點時,人們可能誤認為疫病開始消失). 因此,在對動物進行檢測時,尋求適當的動物檢測比率,對布病的控制有很大的幫助.

        參考文獻 (14)

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